Question

 (本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率，一条准线方程为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若以＞0)为斜率的直线与椭圆相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为.应用待定系数求得椭圆的标准方程.

（2）假设直线（）方程.其中有两个参数.联立椭圆方程.消去即可得一个关于的二次方程.首先由二次方程根的判别式大于零可得一个关于的不等的关系式.其次由韦达定理写出两个根与的关系式.写出线段的中垂线的方程.从而可得中垂线与两坐标轴的截距.再写出垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积，依题意即可得一个关于的等式.由这两步消去.即可得的取值范围.

试题解析：（1）由已知设椭圆的标准方程为，　　＞＞0）

由题设得解得　，

所以椭圆的标准方程为       4分

（2）由题意设直线的方程为　　　（＞0）

由　消去得　　①

设　　则，＝

线段的中点坐标满足　　

　　

从而线段的垂直平分线的方程为

此直线与轴，轴的交点坐标分别为、

由题设可得　整理得　　（＞0）　　②

由题意在①中有　＞0　　整理得＞0

将②代入得　　＞0　（＞0），

　即　＞0，　＜0，即＜0

∴＜＜4　　　　所以的取值范围是。     12分

考点：1.待定系数求椭圆的方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.线段的垂直平分线.4.方程与不等式转化的思想.