Question

【题目】给定数列. 对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.

（1）设数列为3,4,7,1. 写出的值；

（2）设是公比大于的等比数列，且，证明是等比数列；

（3）若，证明是常数列.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据的定义，求得的值.

（2）根据数列的单调性，确定，根据等比数列的定义，证得是等比数列；

（3）先证得后面的项，都不小于，然后证得后面的项，都不大于，由此证得后面的项，和都相等，即证得数列的每一项和都相等，也即证得是常数列.

（1），，

（2）因为是公比大于的等比数列，且

所以.

所以当时，

所以当时，

所以是等比数列.

（3）因为即，故，使，且对，都有……①.

若，则；

若，因为，所以，

所以对，都有……②.

由①②知，对，都有.

综上，.

因为，所以，所以，

所以，使.

同上可证.

以此类推，由于仅有有限项，所以是常数列.