Question

【题目】已知直线l：y=kx+m与椭圆+=1（a＞b＞0）恰有一个公共点P，l与圆x2+y2=a2相交于A，B两点．

（Ⅰ）求m（用a，b，k表示）；

（Ⅱ）当k=-时，△AOB的面积的最大值为a2，求椭圆的离心率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=±; （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意，联立直线与椭圆的方程，变形可得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，由直线与椭圆的位置关系可得△=（2a2km）2-4（a2k2+b2）a2（m2-b2）=0，整理变形可得答案；

（Ⅱ）根据题意，求出原点O到直线l的距离，变形可得，结合椭圆的离心率公式分析可得答案．

解：（Ⅰ）根据题意，直线l与椭圆恰有一个公共点P，即相切；

则有，得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，

则△=（2a2km）2-4（a2k2+b2）a2（m2-b2）=0，

化简整理，得m2=a2k2+b2；m=±，

（Ⅱ）因为当时，△OAB的面积取到最大值，

此时OA⊥OB，从而原点O到直线l的距离，

又，故；

再由（I），得，则．

又，故，即，

从而，即．