Question

已知M（4，0），N（1，0）若动点P满足

MN

•

MP

=6|

NP

|
（1）求动点P的轨迹方C的方程；
（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x+2y-12=0的距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）设动点P（x，y），则由已知P满足

MN

•

MP

=6|

NP

|可知P的轨迹方程
（2）解法一：由几何性质意义知，椭圆C与平行的切线其中一条和l的距离等于Q与l的距离的最小值．
把x+2y+D=0代入椭圆方程消去x，由△=0可得D，进而可求最小距离
解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l′和l的距离等于Q与l的距离的最小值．设切点为R（x₀，y₀），则l′：

x0x

4

+

y0y

3

=1，且

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，k=-

3x0

4y0

=-

1

2

，联立可求x₀，y₀，代入可求最小距离
解三：由椭圆参数方程设Q(2cosθ，

3

sinθ），由点Q与l距离d=

|2cosθ+2 3 sinθ-12|

5

=

12-4sin(θ+30°)

5

，结合三角函数的性质可求
解四：设Q（x₀，y₀），

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1且Q与l距离d=

|x0+2y0-12|

5

，由柯西不等式可求

解答：解：（1）设动点P（x，y），则

MP

(x-4，y)，

MN

=(-3，0)，

PN

=（1-x，-y）
由已知得-3（x-4）=6

(1-x)2+(-y)2

，化简得3x2+4y2=12即

x2

4

+

y2

3

=1
∴点P的轨迹方程是椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）解一：由几何性质意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值．
设l′：x+2y+D=0
代入椭圆方程消去x化简得：16y²+12Dy+3（D²-4）=0∴△=144D²-192（D²-4）=0⇒D=±4
l′与l距离的最小值为

|12±4|

5

∴Q与l距离的最小值为

8 5

5

解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值．设切点为R（x₀，y₀），则l′：

x0x

4

+

y0y

3

=1，且

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1k=-

3x0

4y0

=-

1

2

解得

x0=1 y0= 3 2

或

x0=-1 y0=- 3 2

∴l′为x+2y±4=0
l′与l距离的最小值为

|12±4|

5

∴Q与l距离的最小值为

8 5

5

解三：由椭圆参数方程设Q(2cosθ，

3

sinθ）
则Q与l距离d=

|2cosθ+2 3 sinθ-12|

5

=

12-4sin(θ+30°)

5

∴sin（θ+30°）=1时d_min=

12-4

5

=

8 5

5

解四：设Q（x₀，y₀），

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1
且Q与l距离d=

|x0+2y0-12|

5

由柯西不等式16=(

x 2 0

4

+

y 2 0

3

)(4+12)≥(

x0

2

•2+

y0

3

•2

3

)2=(x0+2y0)2，
∴|x₀+2y₀|≤4，
∴d_min=

12-4

5

=

8 5

5

点评：本题以向量的数量积的定义为载体，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意体会了一题多解 的方法的应用．