Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

(1) 对于线面垂直的证明主要是根据线面垂直的判定定理，先通过线线垂直来得到证明。(2)

解析试题分析：解法一：
（Ⅰ）因为 ，所以.
又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以.     2分
在底面中，因为，，
所以 ， 所以.
又因为， 所以平面.            4分

（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，
证明如下：设的中点是， 连结，，，则，且. 由已知，所以. 又，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.           8分
（Ⅲ）设为中点，连结，

则 .又因为平面平面，
所以 平面.过作于，
连结，则，所以
所以是二面角的平面角.
设，则, .在中，由相似三角形可得：，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为.                 14分