Question

（理科）如图分别是正三棱台ABC－A₁B₁C₁的直观图和正视图，O，O₁分别是上下底面的中心，E是BC中点．

（1）求正三棱台ABC－A₁B₁C₁的体积；
（2）求平面EA₁B₁与平面A₁B₁C₁的夹角的余弦；
（3） 若P是棱A₁C₁上一点，求CP＋PB₁的最小值．

Answer 1

（1）21;（2）;（3） 

解析试题分析：（1）由题意,正三棱台高为……..2分
………..4分
（2）设分别是上下底面的中心，是中点，是中点.以 为原点，过平行的线为轴建立空间直角坐标系. ，， ，，，，，
设平面的一个法向量，则即
取，取平面的一个法向
量，设所求角为
则 ……..8分
（3）将梯形绕旋转到,使其与成平角

，由余弦定理得
即的最小值为 ……13分
考点：本题考查了空间中的线面关系
点评：高考中的立体几何问题主要是探求和证明空间几何体中的平行和垂直关系以及空间角、体积等计算问题．对于平行和垂直问题的证明或探求，其关键是把线线、线面、面面之间的关系进行灵活的转化．在寻找解题思路时，不妨采用分析法，从要求证的结论逐步逆推到已知条件．