Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】试题（1）由已知，有，可得. 设点的纵坐标为.可得

的最大值 。求出，.即可得到椭圆的方程；

（2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：.

设，，，.

联立，得.由弦长公式可得

，由此得到的表达式，由基本不等式可得到的最小值.

试题解析：

（1）由已知，有，即.

∵，∴.

设点的纵坐标为.

则 ，

即.

∴，.

∴椭圆的方程为.

（2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：.

设，，，.

联立，消去，得.

此时.

∴，.

由弦长公式，得 .

整理，得.

又，∴ .

∴ .

∴ ，

当且仅当，即时等号成立.

∴当，即直线的斜率为时，取得最小值.