Question

【题目】已知椭圆C： 的上、下焦点分别为F1 ， F2 ， 上焦点F1到直线 4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e= ．
（I）若P是椭圆C上任意一点，求| || |的取值范围；
（II）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若 =0，且| |=| |，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知椭圆C方程为 ，

设椭圆上焦点F1（0，c），由F1到直线4x+3y+12=0的距离为3，

得 ，又椭圆C的离心率 ，所以 ，又a2=b2+c2，

求得a2=4b2=3．椭圆C方程为 ，

所以1≤|PF1|≤3，设 ， =﹣（t﹣2）2+4，t=2时，

最大值为4，t=1或3时， 最小值为3，

取值范围是[3，4]．…（5分）

（Ⅱ）设直线l的斜率为k，

则直线l方程y﹣2=kx，设B（xB，yB），A（xA，yA），

由 ，得（3k2+4）x2+12kx=0，

则有xA=0， ，所以 ，

所以 ， ，

由已知 ，

所以 ，解得 ， ，

，yM=1，MH的方程 ，联立 ，

，解得 ，

所以线l的方程为

【解析】（Ⅰ）设椭圆上焦点F1（0，c），由F1到直线4x+3y+12=0的距离为3，结合椭圆C的离心率 ，求出椭圆C方程，推出1≤|PF1|≤3，设 ， =﹣（t﹣2）2+4，t=2时，然后求解 取值范围．（Ⅱ）设直线l的斜率为k，直线l的方程y﹣2=kx，设B（xB，yB），A（xA，yA），联立直线与椭圆方程，求出A，B坐标，利用 ，求出H、M的坐标，推出k即可求出直线l的方程．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．