Question

（难线性运算、坐标运算）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求M=

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

的最小值．

Answer 1

分析：先设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），然后构造向量使得则M=|

PA

|+|

PD

|+|

PB

|+|

PC

|=(|

PA

|+|

PC

|)+(|

PB

|+|

PD

|)，然后根据向量模的不等关系进行解题．

解答：解：设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），
则M=|

PA

|+|

PD

|+|

PB

|+|

PC

|=(|

PA

|+|

PC

|)+(|

PB

|+|

PD

|)
=(|

AP

|+|

PC

|)+(|

BP

|+|

PD

|)≥|

AP

+

PC

|+|

BP

+

PD

|
=|

AC

|+|

BD

|．
而

AC

=(1，1)，

BD

=(-1，1)，得|

AC

|+|

BD

|=

2

+

2

=2

2

．
∴M≥2

2

，当

AP

与

PC

同向，

BP

与

PD

同向时取等号，设

PC

=λ

AP

，

PD

=μ

BP

，
则1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=

1

2

．
所以，当x=y=

1

2

时，M的最小值为2

2

．

点评：本题主要考查向量的线性运算和坐标运算．属难题．一定要熟练掌握向量的线性运算法则和巧妙的设坐标构造向量，从而方可运用向量进行解题．