【题目】在正方体中,如图,
分别是正方形
,
的中心.则下列结论正确的是( )
A.平面与
的交点是
的中点
B.平面与
的交点是
的三点分点
C.平面与
的交点是
的三等分点
D.平面将正方体分成两部分的体积比为1∶1
【答案】BC
【解析】
取的中点
,延长
,
,并交于点
,连
并延长分别交
于
,连
并延长交
与
,平面四边形
为所求的截面,进而求出
在各边的位置,利用割补法求出多面体
的体积,即可求出结论.
如图,取的中点
,延长
,
,并交于点
,
连接并延长,设
,
,
连接并延长交
于点
.连接
,
,
则平面四边形就是平面
与正方体的截面,如图所示.
,
为
的中位线,
为
中点,连
,
,
三点共线,取
中点
,连
,
则,
,
为
中点,
分别是正方形
的中心,
所以点是线段
靠近点
的三等分点,
点是线段
靠近点
的三等分点,
点是线段
靠近点
的三等分点.
做出线段的另一个三等分点
,
做出线段靠近
的三等分点
,
连接,
,
,
,
,
所以
从而平面将正方体分成两部分体积比为2∶1.
故选:BC.
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【题目】已知
(1)若 ,且函数
在区间
上单调递增,求实数a的范围;
(2)若函数有两个极值点
,
且存在
满足
,令函数
,试判断
零点的个数并证明.
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【题目】为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为100分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述不正确的是( )
A.甲的数据分析素养优于乙B.乙的数据分析素养优于数学建模素养
C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数学运算最强
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是边长为
的正方形,
是正三角形,
为线段
的中点,点
为底面
内的动点,则下列结论正确的是( )
A.若时,平面
平面
B.若时,直线
与平面
所成的角的正弦值为
C.若直线和
异面时,点
不可能为底面
的中心
D.若平面平面
,且点
为底面
的中心时,
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【题目】己知圆F1:(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3),圆F2:(x-1)2+y2= (4-r)2.
(1)证明:圆F1与圆F2有公共点,并求公共点的轨迹E的方程;
(2)已知点Q(m,0)(m<0),过点E斜率为k(k≠0)的直线与(Ⅰ)中轨迹E相交于M,N两点,记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k2,是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.
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【题目】如图1,在等腰中,
,
,
分别为
,
的中点,
为
的中点,
在线段
上,且
。将
沿
折起,使点
到
的位置(如图2所示),且
。
(1)证明:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值
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