Question

设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R．

(1)若f(x)=1-且x∈[-,),求x;

(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(｜m｜＜)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

解：（1）依题意f(x)=2cos²x+sin2x=1+2sin（2x+）.?

由1+2sin（2x+）=1-,得sin（2x+）=-.?

∵-≤x＜,∴-≤2x+＜π.?∴2x+=-,∴x=-.

(2)∵a=(2cosx,1),b=(cosx, sin2x),

∴f(x)=a·b=(2cosx,1)·(cosx, sin2x)=2cos²x+sin2x=1+2sin（2x+）.?

设P(x,y)为y=2sin2x图象上任一点，它在y=f(x)的图象上对应的点为P′(x′,y′).?

∴ ?∴代入y=2sin2x,得y′-n=2sin2(x′-m)=2sin(2x′-2m),?

即y′=2sin (2x′-2m)+n,而f(x)=2sin（2x+）+1.?

∴sin(2x-2m)=sin（2x+）,n=1.?

∴sin(2x-2m)-sin（2x+）=0,n=1.?

∴ 2cos（2x-m+）sin（-m-）=0对所有x都成立?

∴sin（-m-）=0即m+=kπ(k∈Z)?

∴m=kπ- (k∈Z),又m＜（）?

∴m=-,n=1.