Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）若， 是直线与轴的交点， 是圆上一动点，求的最大值；

（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或．

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先，根据所给a的值，将圆的极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程化为直角坐标方程，然后，根据圆的性质，将所求的最值转化为到圆心的距离；（Ⅱ）首先，得到原点普通方程，然后，结合圆的弦长公式，建立关系式求解a的值即可．

试题解析：

（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，

化为直角坐标方程为，即.

直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为，

∵圆心与点的距离为，

∴的最大值为.

（Ⅱ）由，可化为，

∴圆的普通方程为.

∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，

∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，

∴，解得或．