Question

设，两个函数，的图像关于直线对称.
（1）求实数满足的关系式；
（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；
（3）当时，在上解不等式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

试题分析：（1）两个函数的图象关于某条直线对称，一般都是设是一个函数图象上的任一点，求出这个点关于直线对称的点，而点就在第二个函数的图象上，这样就把两个函数建立了联系；（2）函数有且只有一个零点，一般是求，通过讨论函数的单调性，最值，从而讨论零点的个数，当然本题中由于与的图象关于直线对称，因此的唯一零点也就是它们的的唯一交点必在直线上，这个交点是函数图象与直线的切点，这样我们可从切线方面来解决问题；（3）考虑，
当然要解不等式，还需求，讨论的单调性，极值，从而确定不等式的解集．
试题解析：（1）设是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，，.
（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.
设切点为，，，，,
当时，函数有且只有一个零点；
（3）当时，设 ，则
，当时，，，
当时，，．
在上是减函数.
又＝0，不等式解集是．