Question

【题目】如图，真四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点.

（1）证明：面；

（2）求平面DMN与平面所成锐角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）由余弦定理可得，进而可得，由正棱柱的几何特征可得，由线面垂直的判定即可得解；

（2）连接ME，由题意可得四边形DNME为平行四边形，DE即为平面DMN与平面的交线，由线面垂直的判定可得面，进而可得即为平面DMN与平面所成的平面角，即可得解.

（1）证明：∵在菱形ABCD中，，，且E为BC中点，

∴，∴即，

又棱柱是直四棱柱，∴平面，∴，

又平面，平面，,

∴面；

（2）连接ME，

∵E，M，N分别是BC，，的中点，

∴且，

∴且，∴四边形DNME为平行四边形，

从而可知：DE即为面DMN与面的交线，

∵，，，∴面，

∴且，

则即为平面DMN与平面所成的平面角，

在中，，

故平面DMN与平面所成锐角的正切值为.