Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为2+

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过（1，0）点的直线L与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点A′（A′与B不重合），求证直线A′B与x轴交于一个定点，求此点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为2+

3

，建立方程组，结合b²=a²-c²，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出点的坐标，直线AB的方程，代入椭圆方程，可得直线A′B的方程，利用韦达定理，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为2+

3

，
∴

b=1 a+c=2+ 3

∵b²=a²-c²
∴a-c=2-

3

∴a=2
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（x₁，-y₁），
直线AB的方程代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²x+k²-4=0
∴x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

又直线A′B的方程为y-y₂=

y1+y2

x2-x1

（x-x₂）
令y=0可得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2kx1x2-k(x1+x2)

k(x1+x2-2)

=

2• 4k2-4 1+4k2 - 8k2 1+4k2

8k2 1+4k2 -2

=4
∴直线A′B与x轴交于一个定点，坐标为（4，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．