Question

【题目】如图,矩形中, , 分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.

(Ⅰ) 求证: ；

(Ⅱ) 在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.

(Ⅲ) 求点到的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知条件，利用勾股定理推导出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能够证明PF⊥平面ABED．
（Ⅱ）当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．由已知条件推导出FQ∥BP，即可证明FQ∥平面PBE．
（Ⅲ）由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离．

试题解析：

(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知, , ,

在中, ,

所以

在图中,易得,

在中, ,所以

又, 平面, 平面,所以平面.

(Ⅱ) 当为的三等分点(靠近)时, 平面.

证明如下:

因为, ,所以

又平面, 平面,所以平面.

（注：学生不写平面,扣1分）

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高.

设点到平面的距离为,由等体积法得,

即,又,,

所以,即点到平面的距离为.