Question

【题目】已知分别为椭圆的上、下焦点， 是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）与圆相切的直线交椭圆于，

若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）由题意知，所以，又由抛物线定义可知，得，于是易知，从而，由椭圆定义知， ，得，故，从而椭圆的方程为；（2）设，则由知， ， ，且①，又直线与圆相切，所以有，由，可得②，又联立，消去得，且恒成立，且， ，所以，所以得，代入①，结合②得： ， ，利用二次函数求分母取值范围，所以，即的取值范围为．

试题解析：（1）由题意，所以，又由抛物线定义可知，得，

于是易知，从而，

由椭圆定义知， ，得，故，

从而椭圆的方程为．

（2）设，则由知，

， ，且①

又直线与圆相切，所以有，

由，可得②

又联立，消去得

且恒成立，且， ，

所以，所以得，

代入①式得，所以，

又将②式代入得， ， ，

易知，且，所以，

所以的取值范围为．