Question

【题目】已知直线的方程为．

（1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；

（2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限．

（3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）将代入可得直线方程，分别求得与两个坐标轴的交点坐标，即可求得直线与坐标轴围成的三角形的面积；

（2）将直线方程变形，解方程组即可确定直线所过定点坐标，即可确定其恒过第四象限.

（3）将代入可得直线方程，根据两个点坐标可知两个点在直线同一侧，可先求得关于直线的对称点为的坐标，即可由两点间距离公式求得最短距离.

（1）当时，直线的方程为，

令，得；

令，得，

所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为．

（2）证明：将直线的方程整理得，

由，得，

所以直线恒过点，

所以不论取何值，直线恒过第四象限．

（3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则，

所以动点到定点，距离之和为，

所以当，，三点共线时，最小，

此时．