Question

【题目】已知椭圆，为左焦点，为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为.

（1）求的标准方程；

（2）是否存在过点的直线，与和交点分别是和，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】分析：（1）由题设有，再根据可得的值，从而得到椭圆的标准方程.

（2）因为，故，设直线方程为，分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去后利用韦达定理用表示，解出后即得直线方程.

详解：（1）依题意可知，即，

由右顶点为得，解得，所以的标准方程为.

（2）依题意可知的方程为，假设存在符合题意的直线，

设直线方程为，，

联立方程组，得，

由韦达定理得，则，

联立方程组，得，由韦达定理得，所以，

若，则，即，解得，

所以存在符合题意的直线方程为或.