【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若,求证:;
(Ⅲ)当时,若关于的不等式的解集为,且,,求的取值范围(用表示).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)当时,的取值范围是,当时,的取值范围是.
【解析】
(Ⅰ)求导求斜率,求函数值,利用点斜式求出切线方程;
(Ⅱ)当时,,设,求导得函数的单调性与最值,得,即,分析整理即可得出证明;
(Ⅲ)由题意,在上有两个不相等的实数根,,令得或;分类讨论得函数的单调性,进而得出结论.
(Ⅰ)解:,
当时,,,
所以曲线在点处的切线方程为,即;
(Ⅱ)证明:当时,,设,所以,
,随变化情况如下:
0 | |||
0 | |||
递减 | 0 | 递增 |
由此可知对于,,即,
因此,整理得,即;
(Ⅲ)由题意可知,即方程在上有两个不相等的实数根,,
令.得或;
当即时,在上.所以是上的增函数,
所以方程在上不可能有两个不相等的实数根;
当即时,在上,在上,
所以在上是增函数,在上是减函数,
所以,
又因为,当时,,
(ⅰ)当即时,所以要使方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是;
(ⅱ)当即时,所以要使方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是;
综上所述,当时,的取值范围是;当时,的取值范围是.
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【题目】已知点A,B关于坐标原点O对称,,以M为圆心的圆过A,B两点,且与直线相切,若存在定点P,使得当A运动时,为定值,则点P的坐标为( )
A.B.C.D.
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【题目】我市某区2018年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿,使房价快速走高,为抑制房价过快上涨,政府从2019年2月开始采用实物补偿方式(以房换房),3月份开始房价得到很好的抑制,房价渐渐回落,以下是2019年2月后该区新建住宅销售均价的数据:
月份 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
价格(百元/平方米) | 83 | 82 | 80 | 78 | 77 |
(1)研究发现,3月至7月的各月均价(百元/平方米)与月份之间具有较强的线性相关关系,求价格(百元/平方米)关于月份的线性回归方程;
(2)用表示用(1)中所求的线性回归方程得到的与对应的销售均价的估计值,3月份至7月份销售均价估计值与实际相应月份销售均价差的绝对值记为,即,.若,则将销售均价的数据称为一个“好数据”,现从5个销售均价数据中任取
参考公式:回归方程系数公式,;参考数据:,.
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【题目】为了贯彻落实党中央精准扶贫决策,某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图,其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户,则下列说法错误的是( )
A.该市总有 15000 户低收入家庭
B.在该市从业人员中,低收入家庭共有1800户
C.在该市无业人员中,低收入家庭有4350户
D.在该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有 800 户
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【题目】P是圆上的动点,P点在x轴上的射影是D,点M满足.
(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
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【题目】如图,圆O是一半径为10米的圆形草坪,为了满足周边市民跳广场舞的需要,现规划在草坪上建一个广场,广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形,其中A,B两点在⊙O上,A,B,C,D恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求,在A,B,C,D四点处安装四盏照明设备,从圆心O点出发,在地下铺设4条到A,B,C,D四点线路OA,OB,OC,OD.
(1)若正方形边长为10米,求广场的面积;
(2)求铺设的4条线路OA,OB,OC,OD总长度的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(Ⅱ)已知点设直线与曲线相交于两点,求的值.
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【题目】如图1,在等腰梯形中,两腰,底边是的三等分点,是的中点.分别沿将四边形和折起,使重合于点,得到如图2所示的几何体.在图2中,分别为的中点.
(1)证明:平面
(2)求几何体的体积.
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【题目】为推动实施健康中国战略,树立国家大卫生、大健康概念,手机APP也推出了多款健康运动软件,如“微信运动”,杨老师的微信朋友圈内有位好友参与了“微信运动”,他随机选取了位微信好友(女人,男人),统计其在某一天的走路步数,其中,女性好友的走路步数数据记录如下:
5860 | 8520 | 7326 | 6798 | 7325 | 8430 | 3216 | 7453 | 11754 | 9860 |
8753 | 6450 | 7290 | 4850 | 10223 | 9763 | 7988 | 9176 | 6421 | 5980 |
男性好友走路的步数情况可分为五个类别:步(说明“”表示大于等于,小于等于,下同),步,
(1)若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的名好友中,每天走路步数在步的人数;
(2)请根据选取的样本数据完成下面的列联表并据此判断能否有以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关?
卫健型 | 进步型 | 总计 | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
总计 | 40 |
附:,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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