Question

【题目】如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.

求椭圆的方程；

是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记， ， 的斜率为， ， .问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在常数符合题意.

【解析】试题分析：（1）由题意将点P （1， ）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；

（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=， ，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；

方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值

试题解析：

由在椭圆上得， ①

依题设知，则②

②带入①解得， ， .

故椭圆的方程为.

由题意可设的斜率为，

则直线的方程为③

代入椭圆方程并整理，得，

设， ，则有

， ④

在方程③中令得， 的坐标为 .

从而， ， .

注意到， ， 共线，则有，即有.

所以⑤

④代入⑤得，

又，所以，故存在常数符合题意.