Question

【题目】已知椭圆C1： + =1（a＞b＞0）过点A（1， ），其焦距为2．

（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 + =1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0 ， y0）处的切线方程为 + =1，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆C2： + =1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，

∴ ，所以椭圆C1的方程为 ．

（2）解：（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为

令x=0， ，令 ，所以

又点B在椭圆的第一象限上，所以 ，

∴

∴ ，当且仅当

所以当 时，三角形OCD的面积的最小值为

（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：

又PM过点P（m，n），所以 ，同理点N（x4，y4）也满足 ，

所以M，N都在直线 上，

即：直线MN的方程为

所以原点O到直线MN的距离 = ，

所以直线MN始终与圆 相切．

【解析】（1）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，从而可求椭圆C1的方程；（2）（i）确定 ，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值；（ii）先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论．