Question

【题目】椭圆 （a＞b＞0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为 ，该椭圆的离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点 的直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0

∵原点O到直线AB的距离为 ，∴ ①

∵椭圆的离心率为 ，∴ ②

由①②可得：a=2，b=1

∴椭圆的方程为 ；

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，线段MN的垂直平分线的纵截距为0

当直线斜率k存在时，设直线l的方程为 ，代入 ，消去y得（9+36k2）x2+120kx+64=0

∵△=14400k2﹣256（9+36k2）＞0，∴

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为Q（x0，y0）

∴ = ，

∴Q

∴线段MN的垂直平分线方程为

令x=0，则y= ，

由 ，可得﹣

∴线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围为

【解析】（Ⅰ）设直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0，利用原点O到直线AB的距离为 ，椭圆的离心率为 ，建立方程可求a、b的值，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，线段MN的垂直平分线的纵截距为0；当直线斜率k存在时，设直线l的方程为 ，代入 ，消去y得（9+36k2）x2+120kx+64=0，进而可求线段MN的垂直平分线方程，由此即可求得线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．