Question

【题目】设函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若存在正实数，使得对任意都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)对函数求导，对a分类讨论得到导函数的正负进而得到单调性；（2）对a分情况讨论，在不同的范围下，得到函数的正负，进而去掉绝对值，再构造函数，转化为函数最值问题.

（1）∵，（）

①若，则，故在为增函数

②若时，则，，

故在为减函数，在为增函数

（2）①若，则

由（1）知在为增函数，又，所以对恒成立，

则

设，（），则等价于

，，，

故在递减，在递增，而，显然当，，

故不存在正实数，使得对任意都有恒成立，

故不满足条件

②若，则，由（1）知在为减函数，在为增函数，∵，

∴当时，，此时

∴设，，此时等价于

，

（i）若，∵∴，在为增函数，

∵，∴，

故不存在正实数，使得对任意都有恒成立，

故不满足条件

（ii）若，易知在为减函数，在为增函数，

∵，∴，，故存在正实数，（可取）

使得对任意都有恒成立，故满足条件