Question

（1）设不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤m≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；
（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤x≤2的实数x的取值都成立．

Answer 1

分析：（1）构造函数f（m）=-（x²-1）m+2x-1，原不等式等价于f（m）＞0对于m∈[-2，2]恒成立，从而只需要

f(2)＞0 f(-2)＞0

即可，进而解不等式即可．
（2）令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），原问题转化为：使|x|≤2的一切实数都有2x-1＞m（x²-1）成立．对m的值进行分类讨论：当m=0时，不满足题意；当m≠0时，f（x）只需满足

-m＞0，(m＜0) 1 m ≤-2 f(-2)＞0

，解之得结果为空集，从而得出结论．

解答：解：（1）令f（m）=2x-1-m（x²-1）=（1-x²）m+2x-1，可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切
实数都有2x-1＞m（x²-1）成立．
所以，

f(2)＞0 f(-2)＞0

，即

2x2-2x-1＜0 2x2+2x-3＜0

，即

1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2 x＜ -1- 7 2 或x＞ -1+ 7 2

所以，

7 -1

2

＜x＜

3 +1

2

．
（2）令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），使|x|≤2的一切实数都有2x-1＞m（x²-1）成立．
当m=0时，f（x）=2x-1在

1

2

≤x＜2时，f（x）≥0．（不满足题意）
当m≠0时，f（x）只需满足下式：

-m＞0，(m＜0) 1 m ≤-2 f(-2)＞0

或

-m＞0，(m＜0) -2＜ 1 m ≤2 △＜0

或

-m＞0 1 m ＞2 f(2)＞0

或

-m＜0，(m＞0) f(2)＞0 f(-2)＞0

解之得结果为空集．
故没有m满足题意．

点评：本题以不等式为载体，恒成立问题，关键是构造函数，变换主元，考查解不等式的能力．属于中档题．