Question

（2010•肇庆二模）已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

对一切n∈N*都成立．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}为等差数列，所以只要求出首项与公差，就可以求出通项公式，同样，因为数列{a_n}为等比数列，所以只要求出首项与公比，就可以求出通项公式，然后根据a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．寻找含a1，d，b1，q的关系式，求出a1，d，b1，q即可．
（2）由（1）中所求数列{a_n}的首项与公差，代入等差数列的前n项和公式，求出S_n，再计算

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，最后用放缩法即可证明．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d（d＞0），{b_n}的公比为q，
则

b2S2=q(6+d)=64 b3S3=q2(9+3d)=960

解得

d=2 q=8

或

d=- 6 5 q= 40 3

（舍）   
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，n∈N^*，
b_n=8^n-1，n∈N^*．
（2）因为S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．
故

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

对一切n∈N*都成立．

点评：本题考查了等差等比数列通项公式的求法，以及放缩法比较大小．