Question

如图，平面αIβ=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面4个条件：
①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；
③平面ABC⊥β；
④AC与BD在β内的射影在同一条直线上．
其中能成为增加条件的是

①③④

．（把你认为正确的条件的序号都填上）

Answer 1

分析：要增加一个条件，推出BD⊥EF，由AB⊥α，CD⊥α，则平面ABDC与EF垂直，需要加一个条件能够使得线与面垂直，把几个选项逐个分析，得到结论．

解答：解：要增加一个条件，推出BD⊥EF，
∵AB⊥α，CD⊥α，∴平面ABDC与EF垂直，
∴需要加一个条件能够使得线与面垂直，
①通过线面垂直得到线线垂直，使得EF垂直于平面ABDC，所以①可以成为增加的条件；
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直，所以②不可以成为增加的条件；
③因为平面ABC⊥β，平面ABDC⊥α，α∩β=EF，所以EFEF⊥平面ACBD，所以③可以成为增加的条件；
④因为CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD，所以EF与CD在β内的射影垂直，
因为AC与CD在β内的射影在同一条直线上，所以EF⊥AC
因为AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，所以④可以成为增加的条件．
故答案为：①③④

点评：本题是个开放性的命题，解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理，准确把握定理中的条件．