Question

设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，记方程有两不等实根为事件A，方程没有实数根记为事件B，求事件A+B的概率
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知，总的基本事件有：
（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、
（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）共有12个…（1分）
事件A发生，要求△=4a²-4b²＞0，即a²＞b²，
符合的基本事件有（1，0）、（2，0）、
（2，1）、（3，0）、（3，1）、（3，2），共6个…（2分）
故P（A）=

6

12

=

1

2

…（3分）
事件B发生要求△=4a²-4b²＜0，即a²＜b²，符合的基本事件有：（0，1）、（0，2）、
（1，2）共3个…（4分）
故P（B）=

3

12

=

1

4

…（5分）
又事件A、B互斥，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

3

4

…（6分）
（Ⅱ）试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为=

3×2-  1 2 ×22

3×2

=

2

3

…（12分）