Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，右顶点为A，上顶点B到两焦点F₁，F₂的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点(0，

2

)且斜率k为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，是否存在k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

垂直？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意的离心率为

3

2

，右顶点为A，上顶点B到两焦点F₁，F₂的距离之和为4，建立方程，求得椭圆的几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线与椭圆方程联立，求出向量

OP

+

OQ

与

AB

的坐标，利用向量

OP

+

OQ

与

AB

垂直，及判别式即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意，得2a=4，

c

a

=

3

2

∴a=2，c=

3

∴b=1，∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）设l：y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2+4y2=4

消去y，可得：(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0△=128k2-16(1+4k2)＞0⇒|k|＞

1

2

．               …（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点M(

x

0

，y0)
则x1+x2=-

8 2 k

1+4k2

，x1•x2=

4

1+4k2

∴x0=

x1+x2

2

=-

4 2 k

1+4k2

，y0=

y1+y2

2

=k•

x1+x2

2

+

2

=

2

1+4k2

所以

OP

+

OQ

=2

OM

=2(-

4 2 k

1+4k2

，

2

1+4k2

)
又A（2，0），B（0，1），∴

AB

=（-2，1），
∵

OP

+

OQ

与

AB

垂直，∴可得

OM

•

AB

=0
∴8

2

k+

2

=0
∴k=-

1

8

这与|k|＞

1

2

矛盾，故不存在．                                  …（12分）

点评：本题考查椭圆的定义和离心率，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量垂直的坐标运算，存在性等，以及分析推理运算能力．