Question

在平面角为60°的二面角α-l-β内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱l的距离为

2 57

3

．

Answer 1

分析：设过P，C，D的平面与l交于Q点，可以证出l⊥面PCQD于Q，∠DQC是二面角α-l-β的平面角，PQ是P到l的距离．且PQ是△PDC的外接圆的直径，在△PCD中利用余弦定理求出CD，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线l的距离．

解答：解：设过P，C，D的平面与l交于Q点． 　　
由于PC⊥平面α，l?平面M，则PC⊥l，
同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P，
∴l⊥面PCQD于Q．
又 DQ，CQ，PQ?平面PCQD
∴DQ⊥l，CQ⊥l．
∴∠DQC是二面角α-l-β的平面角．
∴∠DQC=60°
且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距离．
在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°
∴P、A、Q、B四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径．
在△PCD中，∵PC=2cm，PD=3cm，∠CPD=180°-60°=120°，
由余弦定理得 CD²=PC2+PD2-2PC•PDcos120°
=9+4-2×3×2×（-

1

2

）=19，CD=

19

在△PDC 中，根据正弦定理

CD

sin∠CPD

=2R=PQ，代入数据得出PQ=

19

3 2

=

2 57

3

∴点P到直线l的距离为

2 57

3

故答案为：

2 57

3

点评：本题考查了二面角的定义、大小度量，解三角形的知识．分析得出PQ是P到l的距离，且利用正弦定理求出是关键．