Question

（2012•辽宁）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-

1

2

，

3

2

]上的零点个数为（　　）

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

分析：利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，

1

2

]，x∈[

1

2

，

3

2

]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（

1

2

）=g（

3

2

）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．

解答：解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x³．
所以当x∈[1，2]时2-x∈[0，1]，
f（x）=f（2-x）=（2-x）³，
当x∈[0，

1

2

]时，g（x）=xcos（πx）；当x∈[

1

2

，

3

2

]时，g（x）=-xcosπx，
注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，
且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，
g（

1

2

）=g（

3

2

）=0，
作出函数f（x）、g（x）的草图，
函数h（x）除了0、1这两个零点之外，
分别在区间[-

1

2

，0]，[0，

1

2

]，[

1

2

，1]，[1，

3

2

]上各有一个零点．
共有6个零点，
故选B

点评：本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大．