Question

（2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）+

x+1

+ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=

3

2

x在（0，0）点相切．
（I）求a，b的值；
（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜

9x

x+6

．

Answer 1

分析：（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线y=

3

2

x在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；
（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+

x+1

-1，由均值不等式，可得

x+1

＜

x

2

+1，构造函数k（x）=ln（x+1）-x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜

3

2

x，记h（x）=（x+6）f（x）-9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．

解答：（I）解：由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=-1
∵曲线y=f（x）与直线y=

3

2

x在（0，0）点相切．
∴y′|_x=0=(

1

x+1

+

1

2 x+1

+a)

|

x=0

=

3

2

+a=

3

2

∴a=0；
（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+

x+1

-1
由均值不等式，当x＞0时，2

(x+1)•1

＜x+1+1=x+2，∴

x+1

＜

x

2

+1①
令k（x）=ln（x+1）-x，则k（0）=0，k′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

＜0，∴k（x）＜0
∴ln（x+1）＜x，②
由①②得，当x＞0时，f（x）＜

3

2

x
记h（x）=（x+6）f（x）-9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）-9
＜

3

2

x+(x+6)(

1

x+1

+

1

2 x+1

)-9＜

1

2(x+1)

[3x(x+1)+(x+6)(3+

x

2

)-18(x+1)]
=

x

4(x+1)

(7x-18)＜0
∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0
∴当0＜x＜2时，f（x）＜

9x

x+6

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查不等式的证明，正确构造函数是解题的关键．