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    已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)求·的取值范围;

    (3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.

     

    【答案】

    (1) +=1 (2) (3)见解析

    【解析】

    (1)解:由题意知e==,

    ∴e2===,

    即a2=b2.

    又b==,

    ∴b2=3,a2=4,

    故椭圆的方程为+=1.

    (2)解:由题意知直线l的斜率存在,

    设直线l的方程为y=k(x-4).

    由

    得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.

    由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,

    得k2<.

    设A(x1,y1),B(x2,y2),

    则 (*)

    ∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,

    ∴·=x1x2+y1y2

    =(1+k2)·-4k2·+16k2

    =25-

    ∵0≤k2<,

    ∴-≤-<-,

    ∴·∈.

    ∴·的取值范围是.

    (3)证明:∵B、E两点关于x轴对称,

    ∴E(x2,-y2).

    直线AE的方程为y-y1=(x-x1),

    令y=0得x=x1-,

    又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),

    ∴x=.

    将(*)式代入得,x=1,

    ∴直线AE与x轴交于定点(1,0).

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C 1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =λ1    （a＞b＞0，λ1＞0）和双曲线C 2：
    x2
    m2
    -
    y2
    n2
    =λ2(λ2≠0)    ，给出下列命题：
    ①对于任意的正实数λ1，曲线C1都有相同的焦点；
    ②对于任意的正实数λ1，曲线C1都有相同的离心率；
    ③对于任意的非零实数λ2，曲线C2都有相同的渐近线；
    ④对于任意的非零实数λ2，曲线C2都有相同的离心率．
    其中正确的为（　　）

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    （07年陕西卷） (14分)

    已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

    (Ⅰ)求椭圆C的方程;

    (Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

    (1)求椭圆的方程；

    (2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求△面积的最大值.

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练22练习卷（解析版） 题型：解答题

    已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)当△AMN的面积为时,求k的值.

     

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    科目：高中数学 来源：山东省济南市2010届高三第二次模拟考试数学文 题型：选择题

    （本小题满分12分）

           已知椭圆C: +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N（2，-3）．

       （1）求椭圆C的方程；

       （2）求椭圆以M（-1，2）为中点的弦所在直线的方程．

     

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