Question

两定点的坐标分别为A（-1，0），B（2，0），动点满足条件∠MBA=2∠MAB，动点M的轨迹方程是

3x²-y²=3（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．

．

Answer 1

分析：用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA的最佳载体是直线MA、MB的斜率，确定直线的斜率可求．

解答：解：设M（x，y），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：
①若点M在x轴的上方，α∈（0，

π

2

），y＞0，
此时，直线MA的倾角为α，MB的倾角为π-2α，
∴tanα=k_MA=

y

x+1

，tan（π-2α）=

y

x-2

，（2α≠90⁰）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-

y

x-2

=

2× y x+1

1-( y x+1 )2

，得：3x²-y²=3，
∵|MA|＞|MB|，∴x＞1．
当2α=90°时，α=45°，△MAB为等腰直角三角形，此时点M的坐标为（2，3），它满足上述方程．
②当点M在x轴的下方时，y＜0，同理可得点M的轨迹方程为3x²-y²=3（x≥1），
③当点M在线段AB上时，也满足2∠MAB=∠MBA，此时y=0（-1＜x＜2）．
综上所求点的轨迹方程为3x²-y²=3（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．
故答案为：3x²-y²=3（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA是解决本题的关键，属于中档题