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    已知函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行．
    求：（1）求函数f（x）的单调区间；
    （2）若函数f（x）≤x2+b恒成立．求b的取值范围．

    解：（1）∵f（x）=lnx+ax2，
    ∴x＞0，，
    ∵函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，
    ∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
    ∴，
    ∵x＞0，∴由＞0，得0＜x＜；由＜0，得x＞．
    ∴函数f（x）的单调减区间为（），单调增区间为（0，）．
    （2）∵函数f（x）≤x2+b恒成立，
    ∴b≥lnx-2x2恒成立，
    ∴b≥（lnx-2x2）max．
    设g（x）=lnx-2x2，x＞0．
    则，
    令=0，得x=．
    当0＜x时，g′（x）＞0；当x＞时，g′（x）＜0．
    ∴当x=时，=ln-2×（）2=1n-．
    ∴b≥ln-．
    故b的取值范围是（ln-，+∞）．
    分析：（1）由函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，解得a=-1．故，由此能求出函数f（x）的单调区间．
    （2）由函数f（x）≤x2+b恒成立，知b≥lnx-2x2恒成立，故b≥（lnx-2x2）max．由此能求出实数b的取值范围．
    点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义的应用．解题时要认真审题，注意直线平行的条件和等价转化思想的合理运用．
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    2(x-1)
    x+1
    恒成立；
    （3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
    x1+x2
    2
    时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

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    已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
    1
    f(n)
    }的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=xlnx
    （Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
    （Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    		3
    x
    a
    +
    		3
    (a-1)
    x
    ，a≠0且a≠1．
    （1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
    （2）已知当x＞0时，函数在（0，
    		6
    ）上单调递减，在（
    		6
    ，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
    （3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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