Question

椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q。

（1）当|CD|=时，求直线l的方程；
（2）当点P异于A、B两点时，求证：为定值。

Answer 1

解：（1）由已知可得椭圆方程为，设l的方程为为l的斜率
则

∴l的方程为；
（2）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符
设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y²），
∴P点的坐标为（-，0）
由（1）知
且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=
将两直线联立，消去y得
∵-1＜x₁，x₂＜1，
∴ 与异号
²=


∴与异号，与同号
∴，解得x=-k
故Q点坐标为（-k，y₀）
==-1
∴为定值。