Question

【题目】设函数 .

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数的极大值点为，证明：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）的定义域为，，据此分类讨论可得：当时，函数在区间单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，原问题等价于证明.构造函数 ，结合导函数的特征再次构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论.

详解：（Ⅰ）的定义域为，，

当时，，则函数在区间单调递增；

当时，由得，由得.

所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，由得，由得，

所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减.

综上所述，当时，函数在区间单调递增；

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知且时，解得.，

要证，即证，即证：.

令 ，则 .

令，易见函数在区间上单调递增.

而，，

所以在区间上存在唯一的实数，使得，

即，且时，时.

故在上递减，在上递增.

∴ .

又，∴ .

∴成立，即成立.