【题目】已知函数(为常数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在内有极值,试比较与的大小,并证明你的结论.
【答案】(1)当时,在上是增函数,在上是增函数;当时,在上是增函数,在上是增函数,在上是减函数,在上是减函数; (2)当时,;当时,;当时,.见解析
【解析】
(1)求导得到,讨论,,三种情况计算得到答案.
(2)根据题意有一变号零点在区间上,得到,构造函数,根据函数的单调性得到答案.
(1)定义域为,
设
当时,,此时,从而恒成立,
故函数在上是增函数,在上是增函数;
当时,函数图象开口向上,对称轴,又
所以此时,从而恒成立,
故函数在上是增函数,在上是增函数;
当时,,设有两个不同的实根,
共中,
令,则,
令,得或;令,得或,
故函数在上是增函数,在上是增函数,在上是减函数,在上是减函数.
综上,当时,函数在上是增函数,在上是增函数;
当时,函数在上是增函数,在上是增函数,在上是减函数,在上是减函数.
(2)要使在上有极值,由(1)知,①
则有一变号零点在区间上,不妨设,
又因为,∴,又,
∴只需,即,∴,②
联立①②可得:.
从而与均为正数.
要比较与的大小,同取自然底数的对数,
即比较与的大小,再转化为比较与的大小.
构造函数,则,
再设,则,从而在上单调递减,
此时,故在上恒成立,则在上单调递减.
综上所述,当时,;
当时,;
当时,.
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【题目】已知命题:关于的不等式无解;命题:指数函数是上的增函数.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合,集合,且,求实数的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底, 是的中点。
(1)证明:直线平面;
(2)点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值。
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【题目】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
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【题目】某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所,现有一块矩形草坪如下图所示,已知:米,米,拟在这块草坪内铺设三条小路、和,要求点是的中点,点在边上,点在边时上,且.
(1)设,试求的周长关于的函数解析式,并求出此函数的定义域;
(2)经核算,三条路每米铺设费用均为元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.
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【题目】为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召,某贫困县在精准推进上下功夫,在精准扶贫上见实效.根据当地气候特点大力发展中医药产业,药用昆虫的使用相应愈来愈多,每年春暖以后到寒冬前,昆虫大量活动与繁殖,易于采取各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数(单位:个)与一定范围内的温度(单位:)有关,于是科研人员在月份的天中随机选取了天进行研究,现收集了该种药物昆虫的组观察数据如表:
日期 | 日 | 日 | 日 | 日 | 日 |
温度 | |||||
产卵数个 |
(1)从这天中任选天,记这天药用昆虫的产卵数分别为、,求“事件,均不小于”的概率?
(2)科研人员确定的研究方案是:先从这组数据中任选组,用剩下的组数据建立线性回归方程,再对被选取的组数据进行检验.
①若选取的是月日与月日这组数据,请根据月日、日和日这三组数据,求出关于的线性回归方程?
②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过个,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问①中所得的线性回归方程是否可靠?
附公式:,.
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