Question

数列{a_n}中，，n∈N^*．
（I）若，设，求证数列{b_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）若a₁＞2，n≥2，n∈N，用数学归纳法证明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意知b_n+1=2b_n，，数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此可，所以．
（II）根据题设条件利用数学归纳法进行证明．
解答：解：（I）证明：
∵，
（2分）
∵，∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，（4分）

∴b_n=2ⁿ，即，得，所以．（6分）
（II）证明：（i）当n=2时，∵a₁＞2，
∴，
∴，
∴，不等式成立；（8分）
（ii）假设当n=k（k≥2）时，成立，
那么，当n=k+1时，去证明
∵，
∴a_k+1＞2；
∵，
∴；
∴，
所以n=k+1不等式也成立，
由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数学归纳法的解题步骤，注意解题的严密性．