Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且cosA=-

1

4

，a=4，b=3
（1）求：边c；   
（2）求：

sinA+sinB+sinC

a+b+c

的值；   
（3）求：△ABC内切圆的半径．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，结合题意得到关于边c的方程，解之即可得到边c的值；
（2）由同角三角函数的关系算出sinA=

15

4

，结合正弦定理代入题中数据，即可算出

sinA+sinB+sinC

a+b+c

的值；
（3）根据正弦定理的面积公式，算出S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 15

4

，再由三角形面积关于内切圆半径r的公式加以计算，即可得到△ABC内切圆的半径r的值．

解答：解：（1）由余弦定理得　a²=b²+c²-2bccosA
即4²=3²+c²-6c•（-

1

4

），
化简得2c²+3c-14=0，解之得c=2（舍负）…（4分）
（2）sinA=

1-cos2A

=

15

4

由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得

sinA+sinB+sinC

a+b+c

=

sinA

a

=

15 4

4

=

15

16

…（8分）
（3）由正弦定理的面积公式，得
S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×2×

15

4

=

3 15

4

另一方面，S_△ABC=

1

2

（a+b+c）r
∴△ABC内切圆的半径r=

2S△ABC

a+b+c

=

2× 3 15 4

2+3+4

=

15

6

…（12分）

点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边并求内切圆半径．着重考查了同角三角函数的关系，利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．