Question

【题目】如图，在矩形中，分别在上，且,沿 将四边形折成四边形，使点在平面上的射影在直线上

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）平面，证明故平面，平面，得到证明.

（2），得到平面平面，得到证明.

（3）以为轴，平面内与垂直的直线为轴，平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，计算，根据得到，平面的法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.

（1）在平面上的射影在直线上，故平面.

平面，故，，，故平面.

平面，故平面平面.

（2），故，平面，故平面.

，平面，故平面，.

故平面平面，平面，故平面.

（3）如图所示：以为轴，平面内与垂直的直线为轴，平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系.

，，，设，，

，取正解，得到，，故.

，故，

设平面的法向量为，故，即，

取，得到，故.

易知：平面的一个法向量为，故.

故二面角的正弦值为.