Question

.如图,在底面是直角梯形的四棱锥    P—ABCD中,AD//BC, ∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4.

AD=2,AB=,BC=6.

（Ⅰ）求证:BD⊥平面PAC;

（Ⅱ）求二面角A—PC—D的余弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

解法一:(1)∵PA⊥平面ABCD, BD平面ABCD,  ∴BD⊥PA.      

又，

 ∴∠ABD=30,°∠BAC=60°

∴∠AEB=90°，即BD⊥AC   ……4分  

 又PAAC=A, ∴BD⊥平面PAC.                     

  (2)过E作EF⊥PC,垂足为F,连结DF,

    ∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂线定理知PC⊥DF,

∴∠EFD为二面角A—PC—D的平面角.                

又∠DAC=90°—∠BAC=30°∴DE=ADsin∠DAC＝1，AE＝ABsin∠ABE＝，

又AC＝， ∴EC=, PC=8.

由Rt△EFC∽Rt△PAC得 

在Rt△EFD中,，

∴.∴二面角A—PC—D的大小为.          

    解法二:(1)如图,建立坐标系,则

    ……2分

∴，∴， 

∴BD⊥AP, BD⊥AC, 又PAAC=A∴BD⊥平面PAC.

(2)设平面PCD的法向量为,

则,  ……6分

又,

∴, 解得   

∴                              ……8分

平面PAC的法向量取为,        ……10分

∴二面角A—PC—D的大小为.   

 

【解析】略