Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的极值点；

（2）若，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，无极值点；当时，极值点为；当且时，极值点为和；（2）.

【解析】

(1)先求出函数的导数，讨论、、且即可求出函数的极值点;

(2)由题意可将，恒成立转化为时，恒成立，然后构造函数，分，与两种情况讨论，分别用导数的方法研究其在上的单调性和值域，即可筛选出符合题意的的取值范围.

（1）,

当时，，故无极值点；

当时，函数只有一个极值点，极值点为；

当且时，函数有两个极值点，分别为和.

（2），依题意，当时，，

即当时，.

设，则.

设，则.

①当时，，，从而（当且仅当时，等号成立），

在上单调递增.

又，当时，，从而当时，，

在上单调递减，又，

从而当时，，即，

于是当时，.

②当时，令，得，.

故当时，，

在上单调递减.

又，当时，，从而当时，，

在上单调递增，又，

从而当时，，即，

于是当时，，不符合题意.

综上所述：实数的取值范围为.