Question

【题目】某疾病有甲、乙两种类型，对甲型患者的有效治疗只能通过注射药物Y，而乙型患者可以服药物A进行有效治疗，对该疾病患者可以通过药物A的临床检验确定甲型或乙型.检验的方法是：如果患者利用药物A完成第一个疗程有效，就可以确定是乙型；否则进行第二个疗程，如果完成第二个疗程有效，也可以确定是乙型，否则确定是甲型.为了掌握这种疾病患者中甲型、乙型所占比例，随机抽取100名患者作为样本通过药物A进行临床检验，检验结果是：样本中完成第二个疗程有效的患者是完成第一个疗程有效的患者的60%，且最终确定为甲型患者的有36人.

（1）根据检验结果，将频率视作概率，在利用药物A完成第一个疗程无效的患者中仼选3人，求其中甲型患者恰为2人的概率；

（2）该疾病的患者通过治疗，使血浆中某物质t的浓度降低到或更低时，就认为已经达到治愈指标.为了确定药物Y对甲型患者的疗效，需了解疗程次数x（单位：次）对患者血浆中t的浓度（单位：）的影响.在甲型患者中抽取一个有代表性的样本，利用药物Y进行5个疗程，每个疗程完成后对每个个体抽取相同容量的血浆进行分析，并对疗程数和每个疗程后样本血浆中t的平均浓度的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

3	11.0	0.46	262.5	30.1	55	1.458

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上表中，.

①根据散点图直接判断（不必说明理由），与哪一个适宜作为甲型患者血浆中t的平均浓度y关于疗程次数x的回归方程类型？并根据表中数据建立y关于x的回归方程.

②患者在享受基本医疗保险及政府专项补助后，自己需承担的费用z（单位：元）与x，y的关系为.在达到治愈指标的前提下，甲型患者完成多少个疗程自己承担的费用最低？

对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

Answer 1

【答案】（1）（2）①适宜；②8个或9个

【解析】

（1）首先求出完成第一个疗程有效的患者人数，用频率视作概率，可知完成第一个疗程无效的患者是甲型患者的概率为，再根据二项分布的概率公式计算可得；

（2）①根据散点图可以判断，适宜作为甲型患者血浆中t的平均含量关于疗程次数的回归方程类型.，令，先建立y关于w的线性回归方程，根据所给数据求出回归方程，最后换元即可得到关于的回归方程；

②依题意可得，且，解得，则，最后根据对勾函数的性质计算可得；

解：（1）设样本中完成第一个疗程有效的患者人数为n，则，解得，则完成第一个疗程无效的患者人数为60人.

将频率视作概率，则利用药物A完成第一个疗程无效的患者是甲型患者的概率为.

在利用药物A完成第一个疗程无效的患者中任选3人，设其中是甲型患者的人数为，

则，.

所以.

所以所求的概率为

（2）①根据散点图可以判断，适宜作为甲型患者血浆中t的平均含量关于疗程次数的回归方程类型.

令，先建立y关于w的线性回归方程.

由，

.

所以y关于w的线性回归方程为，

因此y关于x的回归方程为.

②当达到治愈指标时，由，且，解得

注射药物Y治疗x个疗程时，患者自己需承担费用为：

.

令，易知在单调递减，在单调递增.

因为，且，

所以甲型患者完成8个或9个疗程时，能够达到治愈指标且自己承担的费用最低；