Question

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则

|AF|

|FB|

=

 

．

Answer 1

分析：作AA₁⊥x轴，BB₁⊥x轴．则可知AA₁∥OF∥BB₁，根据比例线段的性质可知

|AF|

|FB|

=

|OA1|

|OB1|

=

|xA|

|xB|

，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x_A+x_B和x_Ax_B的表达式，进而可求得x_Ax_B=-（

xA+xB

2 3 3

）²，整理后两边同除以x_B²得关于

xA

xB

的一元二次方程，求得

xA

xB

的值，进而求得

|AF|

|FB|

．

解答：解：如图，作AA₁⊥x轴，
BB₁⊥x轴．
则AA₁∥OF∥BB₁，
∴

|AF|

|FB|

=

|OA1|

|OB1|

=

|xA|

|xB|

，
又已知x_A＜0，x_B＞0，
∴

|AF|

|FB|

=-

xA

xB

，
∵直线AB方程为y=xtan30°+

p

2

即y=

3

3

x+

p

2

，
与x²=2py联立得x²-

2 3

3

px-p²=0
∴x_A+x_B=

2 3

3

p，x_A•x_B=-p²，
∴x_Ax_B=-p²=-（

xA+xB

2 3 3

）²
=-

3

4

（x_A²+x_B²+2x_Ax_B）
∴3x_A²+3x_B²+10x_Ax_B=0
两边同除以x_B²（x_B²≠0）得
3（

xA

xB

）²+10

xA

xB

+3=0
∴

xA

xB

=-3或-

1

3

．
又∵x_A+x_B=

2 3

3

p＞0，
∴x_A＞-x_B，
∴

xA

xB

＞-1，
∴

|AF|

|FB|

=-

xA

xB

=-（-

1

3

）=

1

3

．
故答案为：

1

3

点评：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．