Question

【题目】设函数，.

（1）若（其中）

（ⅰ）求实数t的取值范围；

（ⅱ）证明：；

（2）是否存在实数a，使得在区间内恒成立，且关于x的方程在内有唯一解？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析；（2）存在，理由见解析.

【解析】

（1）（ⅰ）求得的导函数，判断出的单调性，根据函数与在的图象有两个不同的交点可得的范围；

（ⅱ）将证明成立，转化为证：，结合在上的单调性，转化为证，结合换元法以及导数的工具作用证得上述不等式成立，由此证得成立.

（2）构造函数，首先判断出，利用求得的可能取值为.利用导数证明当时，在区间内恒成立，且关于x的方程在内有唯一解.

（1）（ⅰ）解：

在递增，递减，且

又当时，；当时，

（ⅱ）由（ⅰ）知：，

要证：成立，只需证：

在递增，故只需证：

即证：

令，只需证：，即证：

令，，.证毕

（2）令

，且需在区间内恒成立

，可得

事实上，当时，，下证：

法一：，

令，则在单调递减，

由于，，

存在使在单调递增，单调递减，且.

，

在递减，递增，，

在区间内恒成立，

当时，在区间内恒成立，且在内有唯一解，证毕.

法二：

令，则，所以在递减，递增

，即，

在递减，递增，

在区间内恒成立

当时，在区间内恒成立，且在内有唯一解，证毕.