Question

如图，两射线AM，AN互相垂直，在射线AN上取一点B使AB的长为定值2a，在射线AN的左侧以AB为斜边作一等腰直角三角形ABC．在射线AM，AN上各有一个动点D，E满足△ADE与△ABC的面积之比为3：2，则•的取值范围为________．

Answer 1

[5a²，+∞）
分析：以AM所在的直线为x轴，以AN所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设除点D（m，0）、E（0，n），化简 =m²+ma+na．再由△ADE与△ABC的面积之比为3：2，求得n与m的关系．令f（m）=，利用导数求得函数f（m）取得最小值为 f（m），即可得到•的取值范围．
解答：以AM所在的直线为x轴，以AN所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
由题意可得点C（-a，a），a＞0，A（0，0）、B（0，2a）．
设点D（m，0）、E（0，n），则有=（m+a，-a）、=（m，-n），∴=m²+ma+na．
再由△ADE与△ABC的面积之比为3：2 可得 =，∴mn=3a²，∴n=．
令f（m）=，则 f（m）=m²+ma+na=m²+ma+，
故有 f′（m）=2m+a+=．
由于a＞0、m＞0，令 f′（m）＞0，解得 m＞a． 令f′（m）＜0 解得 0＜m＜a．
故函数f（m）在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故当m=a时，函数f（m）取得最小值为 f（m）=5a²，故函数f（m）的值域为[5a²，+∞），
故答案为[5a²，+∞）．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，利用导数求函数的极值，属于中档题．