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    【题目】已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.

    （1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；

    （2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】

    （1）设中点，利用点差法得，由点在椭圆内部得，即可求解k的范围

    （2）向量坐标化得，，弦长公式得由点在椭圆上，得，进而得AB方程，与椭圆联立得，则可求

    （1）设，，则，，

    两式相减得：，

    由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，

    设其斜率为，由式得，即.

    由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得.

    又，所以斜率的取值范围为.

    （2）由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，

    所以，，设，则，

    ，，，

    同理可得，因为点在椭圆上，所以，

    解得.当时，，直线的方程为，

    代入得，由根与系数关系得.

    则.

    由对称性知，当时也成立，.

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    男性

    女性

    合计

    使用

    15

    5

    20

    不使用

    10

    20

    30

    合计

    25

    25

    50

    （1）请根据调查结果分①析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；

    （2）在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加某项活动，求这2人中恰有一位女性的概率.

    附：

    0.010

    0.005

    0.001

    6.635

    7.879

    10.828

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