Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若时，不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）

【解析】

试题分析：（1）当求导，可得的单调区间；（2）首先，要保证由意义，可得；由题意得，不等式对于任意的恒成立，构造新函数，，求导研究函数的性质，分情况讨论当时，不满足题意；当时，要使时，不等式成立，需，即，此时要证，继续构造函数，求导可证得在上单调递增，． 即，问题解决.

试题解析：（1）当.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

综上，的单调递增区间为；单调递减区间为.

(2) 由题意得，时，恒成立，可得.……①

由题意得，不等式对于任意的恒成立.

设，..

当时，，不满足题意；

当时，要使时，不等式成立，

须，即；

当时，，

设，．

显然在上单调递增，所以．

所以在上单调递增，．

即. ……②

由①②可知时，满足题意．