Question

【题目】已知．

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）若有2个不同零点，求的取值范围；

（Ⅲ）对，求证： ．

Answer 1

【答案】(1) ，无极大值(2) (3)见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（Ⅱ）求导，讨论的取值，研究导函数的符号变换，得到函数单调性和极值，再通过零点的个数确定极值的符号；（Ⅲ）作差构造函数，求导，利用导数求其最值即可证明.

试题解析：（Ⅰ）当时

， ， 为减函数

， ， 为增函数

∴，无极大值；

（Ⅱ）

当时， ，只有个零点

当时，

， ， 为减函数

， ， 为增函数

而

∴当， ，使

当时，∴ ∴

∴

取，∴

∴函数有个零点

当时，

令得，

①，即时

当变化时 ， 变化情况是

∴

∴函数至多有一个零点，不符合题意

②时， ， 在单调递增

∴至多有一个零点，不合题意

③当时，即以时

当变化时， 的变化情况是

∴， 时

∴函数至多有个零点

综上： 的取值范围是

（Ⅲ）令

令行禁止

∴为增函数

取， ，

∴存在唯一使，即

， ，即，∴为减函数

， ，即，∴为增函数

∴

∴对有

即